Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+18x+17sinx，若對任意的θ∈R，不等式f（asinθ+2）+f（1+2cos2θ）≥0恒成立，則a的取值范圍是-1≤a≤1．

Answer 1

分析 通過求導(dǎo)數(shù)便可判斷f（x）在R上單調(diào)遞增，并且容易判斷為奇函數(shù)，利用換元法并且借助于恒成立問題的解決方法得到答案．

解答 易知函數(shù)f（x）=x³+18x+17sinx為奇函數(shù)
∵f′（x）=3x²+18+17cosx＞0
∴f（x）單調(diào)遞增．
∵f（asinθ+2）+f（1+2cos2θ）≥0恒成立
∴f（asinθ+2））≥-f（1+2cos2θ）
f（asinθ+2）≥f（-1-2cos2θ）
asinθ+2≥-1-2cos2θ恒成立
即 4sin²θ-asinθ-5≤0，
設(shè)t=sinθ，t∈[-1，1]；g（t）=4t²-at-5≤0，
g（-1）≤0且g（1）≤0
故答案為：-1≤a≤1

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．