Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A，B的一點，PA⊥平面ABC，E是PC的中點， ，PA=AC=1．

（1）求證：AE⊥PB；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC

∴PA⊥BC，

又AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A，B的一點

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A

∴BC⊥平面PAC，又AE平面PAC

∴BC⊥AE

∵PA=AC，E是PC的中點

∴AE⊥PC，又BC∩PC=C

∴AE⊥平面PBC，又PB平面PBC

∴AE⊥PB

（2）證明：過A作AF⊥PB交PB于F，連接EF

又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A

∴PB⊥平面AEF，又EF平面AEF

∴PB⊥EF，又AF⊥PB

∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角

∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，則 ，

在Rt△PAB中，PA=1， ，同理得

∴在Rt△AEF中，

故二面角A﹣PB﹣C的正弦值為 ．

【解析】（1）由線面垂直得PA⊥BC，由圓O的直徑，得AC⊥BC，從而AE平面PAC，進而BC⊥AE，由等腰三角形性質得AE⊥PC，由此能證明AE⊥PB．（2）過A作AF⊥PB交PB于F，連接EF，推導出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．