Question

19．已知變量x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤2}\\{2y-x≥1}\end{array}\right.$，
（1）求z=2x+y的取值范圍；
（2）求$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的最小值；
（3）求$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域．
（1）化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合定點最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案；
（2）由$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義，即可行域內(nèi)動點與定點Q（1，0）的距離求解；
（3）由$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義，即可行域內(nèi)動點與定點P（-1，-1）連線斜率的取值范圍求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤2}\\{2y-x≥1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
（1）化z=2x+y為y=-2x+z，由圖可知，當直線y=-2x+z過A（0，$\frac{1}{2}$）時，直線在y軸上的截距最小，
z有最小值為2×$0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，當直線y=-2x+z過C（1，2）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為2×1+2=4．
∴z=2x+y的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，4]；
（2）$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義為可行域內(nèi)動點與定點Q（1，0）的距離，最小值為$\frac{|1×1-2×0+1|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義為可行域內(nèi)動點與定點P（-1，1）連線斜率的取值范圍，
∵${k}_{PB}=\frac{-1-1}{-1-1}=1$，${k}_{PD}=\frac{-1-2}{-1-0}=3$，∴$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍為[1，3]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．