Question

18．若函數(shù)f（x）=4x²+2x-2+me^x有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m取值范圍為（　�。�

• A． [0，1）
• B． [0，2）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}
• C． （0，2）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}
• D． [0，2$\sqrt{e}$）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}

Answer 1

分析 利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用參數(shù)分離法進(jìn)行分離函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x）=4x²+2x-2+me^x=0得-me^x=4x²+2x-2，得m=-$\frac{4{x}^{2}+2x-2}{{e}^{x}}$，
設(shè)h（x）=-$\frac{4{x}^{2}+2x-2}{{e}^{x}}$，
則h′（x）=-$\frac{（8x+2）{e}^{x}-（4{x}^{2}+2x-2）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{4{x}^{2}-6x-4}{{e}^{x}}$=$\frac{2（x-2）（2x+1）}{{e}^{x}}$
由h′（x）＞0得x＞2或x＜$-\frac{1}{2}$，此時(shí)函數(shù)遞增，
由h′（x）＜0得$-\frac{1}{2}$＜x＜2，此時(shí)函數(shù)遞減，
即當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得極小值h（2）=-$\frac{4×4+2×2-2}{{e}^{2}}$=-$\frac{18}{{e}^{2}}$，
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得極大值h（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{4×\frac{1}{4}-2×\frac{1}{2}-2}{{e}^{-\frac{1}{2}}}$=2$\sqrt{e}$，
當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）＜0，當(dāng)x→-∞時(shí)，h（x）→-∞，
則函數(shù)h（x）對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
若函數(shù)f（x）=4x²+2x-2+me^x有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
等價(jià)為m=-$\frac{4{x}^{2}+2x-2}{{e}^{x}}$有兩個(gè)不同的根，
則0≤m＜2$\sqrt{e}$或m=-$\frac{18}{{e}^{2}}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，2$\sqrt{e}$）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)以及兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用參數(shù)分離法，以及構(gòu)造分式，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．