Question

6．已知點(diǎn)P（x，y），其中x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ y-2≥0\\ x-1≥0\end{array}$，則z₁=$\frac{y}{x}$的取值范圍[1，3]，z=$\frac{y^2}{x}$的最大值是9．

Answer 1

分析 畫出滿足條件的平面區(qū)域，由z₁=$\frac{y}{x}$表示過平面區(qū)域的點(diǎn)（x，y）與（0，0）的直線的斜率，通過圖象即可得出．作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域要使z=$\frac{y^2}{x}$最大，則x最小，y最大即可，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，
如圖示：
由z₁=$\frac{y}{x}$表示過平面區(qū)域的點(diǎn)（x，y）與（0，0）的直線的斜率，由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（1，3），
顯然直線過A（1，3）時，z₁=$\frac{y}{x}$=3，
直線過（2，2）時，z₁=$\frac{y}{x}$=1，
故答案為：[1，3]．
解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則x≥1，y≥2，
要使z=$\frac{y^2}{x}$最大，則x最小，y最大即可，
由圖象知當(dāng)z=$\frac{y^2}{x}$經(jīng)過點(diǎn)A時，z取得最大值，
則z的最大值是z=$\frac{{3}^{2}}{1}$=9，
故答案為：[1，3]；9．

點(diǎn)評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，利用數(shù)形結(jié)合判斷x，y的取值關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．