Question

16．某人玩擲骰子移動(dòng)棋子的游戲，棋盤分為A，B兩方，開(kāi)始時(shí)棋子放在A方，根據(jù)下列①、②、③的規(guī)定移動(dòng)棋子：①骰子出現(xiàn)1點(diǎn)時(shí)，不能移動(dòng)棋子；②出現(xiàn)2、3、4、5點(diǎn)時(shí)，把棋子移向?qū)Ψ�；③出現(xiàn)6點(diǎn)時(shí)，若棋子在A方就不動(dòng)，若棋子在B方就移至A方．
（1）將骰子連擲2次，求擲第一次后棋子仍在A方而擲第二次后棋子在B方的概率；
（2）若將骰子連擲3次，3次中棋子移動(dòng)的次數(shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）骰子擲第一次后棋子在A方的事件記為M，骰子擲第二次后棋子在B方的事件記為N，分別求出P（M）、P（N），由事件M、N互相獨(dú)立，能求出棋子在擲第一次后在A方，擲第二次后在B方的概率．
（2）ξ的可能值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿分13分）
解：（1）骰子擲第一次后棋子在A方的事件記為M，
則$P（M）=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$…（2分）
骰子擲第二次后棋子在B方的事件記為N，
則$P（N）=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$…（4分）
∵事件M、N互相獨(dú)立，
∴棋子在擲第一次后在A方，擲第二次后在B方的概率為$P（{MN}）=P（M）P（N）=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$…（5分）
（2）ξ的可能值為0，1，2，3 …（6分）
$P（{ξ=0}）=\frac{2}{6}×\frac{2}{6}×\frac{2}{6}=\frac{8}{216}$…（7分）
$P（{ξ=1}）=\frac{4}{6}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+$$\frac{2}{6}×\frac{4}{6}×\frac{1}{6}+$$\frac{2}{6}×\frac{2}{6}×\frac{4}{6}=\frac{28}{216}$…（8分）
$P（{ξ=2}）=\frac{4}{6}×\frac{5}{6}×\frac{2}{6}+$$\frac{4}{6}×\frac{1}{6}×\frac{5}{6}+$$\frac{2}{6}×\frac{4}{6}×\frac{5}{6}=\frac{100}{216}$…（9分）
$P（{ξ=3}）=\frac{4}{6}×\frac{5}{6}×\frac{4}{6}=\frac{80}{216}$…（10分）
隨機(jī)變量ξ的分布列為…（11分）

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{216}$	$\frac{28}{216}$	$\frac{100}{216}$	$\frac{80}{216}$

$Eξ=0×\frac{8}{216}+1×\frac{28}{216}+2×\frac{100}{216}+3×\frac{80}{216}=\frac{13}{6}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率加法公式的合理運(yùn)用．