Question

1．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$為單位向量，|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|，則$\overrightarrow a$在$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$的投影為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 可知$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow|=1$，這樣對$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$兩邊平方，進行數(shù)量積的運算便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{3}$，從而可以求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$，進而得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的值，而$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的投影為$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$，進行數(shù)量積的運算可以求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$的值，從而便可得出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的投影．

解答 解：根據(jù)條件，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$；
由$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$得：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=2|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$；
∴$1+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1=2（1-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{3}$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}=1+\frac{2}{3}+1=\frac{8}{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{\frac{8}{3}}$；
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的投影為：
$|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow＞=|\overrightarrow{a}|•\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$
=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$
=$\frac{1+\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{8}{3}}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：C．

點評 考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運算及計算公式，要求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$而求$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$的方法，以及一個向量在另一個向量方向上的投影的概念及計算公式．