Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AB的中點為O，且OA=1，點D在AB的延長線上，且 ．固定邊AB，在平面內(nèi)移動頂點C，使得圓M與邊BC，邊AC的延長線相切，并始終與AB的延長線相切于點D，記頂點C的軌跡為曲線Γ．以AB所在直線為x軸，O為坐標原點如圖所示建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l交曲線Γ于E、F兩點，且以EF為直徑的圓經(jīng)過點O，求△OEF面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意得AB=2，BD=1，設(shè)動圓M與邊AC的延長線相切于T1 ， 與邊BC相切于T2 ， 則AD=AT1 ， BD=BT2 ， CT1=CT2所以AD+BD=AT1+BT2=AC+CT1+BT2=AC+CT1+CT2=AC+BC=AB+2BD=4＞AB=2
所以點C軌跡Γ是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓，且挖去長軸的兩個頂點．則曲線Γ的方程為 ．
（Ⅱ）由于曲線Γ要挖去長軸兩個頂點，所以直線OE，OF斜率存在且不為0，所以可設(shè)直線

由 得 ， ，同理可得： ， ；
所以 ，
又OE⊥OF，所以
令t=k2+1，則t＞1且k2=t﹣1，所以 =
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以△OEF面積的取值范圍為 ．

【解析】（Ⅰ）確定點C軌跡Γ是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓，且挖去長軸的兩個頂點，即可求曲線Γ的方程；（Ⅱ）可設(shè)直線 ，進而表示面積，即可求△OEF面積的取值范圍．