Question

【題目】設數列共有項，記該數列前項中的最大項為，該數列后項中的最小項為，．

（1）若數列的通項公式為，求數列的通項公式；

（2）若數列滿足，，求數列的通項公式；

（3）試構造一個數列，滿足，其中是公差不為零的等差數列，是等比數列，使得對于任意給定的正整數，數列都是單調遞增的，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）

【解析】

試題（1）由題意得：因為單調遞增，所以，，所以，．本小題目的引導閱讀題意，關鍵在于確定數列單調性（2）本題是逆問題，關鍵仍是確定數列單調性：因為，所以，可得即，又因為，所以單調遞增，則，，所以，可得是公差為2的等差數列，（3）由上面兩小題可知，構造數列為單調遞增數列：等差數列的公差為正數，等比數列的首項為負，公比，若等比數列的首項為正，公比，由（1）知不滿足數列是單調遞增的

試題解析：（1）因為單調遞增，所以，，

所以，．

（2）根據題意可知，，，因為，所以

可得即，又因為，所以單調遞增，

則，，所以，即，，

所以是公差為2的等差數列，，．

（3）構造，其中，．

下證數列滿足題意．

證明：因為，所以數列單調遞增，

所以，，

所以，，

因為，

所以數列單調遞增，滿足題意．

（說明：等差數列的首項任意，公差為正數，同時等比數列的首項為負，公比，這樣構造的數列都滿足題意．）