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已知數列的各項均是正數，其前項和為，滿足.
（I）求數列的通項公式；
（II）設數列的前項和為，求證：.

（Ⅰ）. （Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）首先令求出首項，.
由兩式相減，得即.所以，
數列是首項為2，公比為的等比數列.由等比數列的通項公式便可得數列的通項公式.
（Ⅱ）證明有關數列前項和的不等式，一般有以下兩種思路：一種是先求和后放縮，一種是先放縮后求和.在本題中，由（Ⅰ）可得：，.這顯然用裂項法求和，然后用放縮法即可證明.
試題解析：（Ⅰ）由題設知，         2分
由兩式相減，得.
所以.           4分
可見，數列是首項為2，公比為的等比數列。
所以                    6分
（Ⅱ），          8分
.             10分


=.                12分
考點：1、等比數列；2、裂項法；3、不等式的證明.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設正整數數列滿足：，且對于任何，有．
（1）求，；
（2）求數列的通項．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列的前項和滿足
（Ⅰ）證明為等比數列，并求的通項公式；
（Ⅱ）設；求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列中，，設．
（Ⅰ）試寫出數列的前三項；
（Ⅱ）求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（Ⅲ）設的前項和為，
求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列是等比數列，首項.
(l)求數列的通項公式；
(2)設數列，證明數列是等差數列并求前n項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知等比數列{an}的前n項和Sn＝2n－a，n∈N*．設公差不為零的等差數列{bn}滿足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比數列．
（Ⅰ）求a的值及數列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{logan}的前n項和為Tn．求使Tn＞bn的最小正整數n．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列的前項和為，常數，且對一切正整數都成立。
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，，當為何值時，數列的前項和最大？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知等比數列 的所有項均為正數，首項且成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）數列的前項和為若求實數的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設等差數列的前項和為，且,.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足 ，求的通項公式；
（3）求數列前 項和.

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