Question

5．已知函數(shù)f（x）=x+alnx
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a≥0時(shí)，a＜0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）討論a＞0，a=0，a＜0，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，以及函數(shù)的最小值大于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=x+alnx的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=\frac{x+a}{x}（x＞0）$．    
由題意在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直，
可得$f'（2）=\frac{2+a}{2}=-1$，解得a=-4；
（2）因$f'（x）=\frac{x+a}{x}（x＞0）$，
當(dāng)a≥0時(shí)，在x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）與f'（x）在定義域上的情況如下：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，-a），單調(diào)增區(qū)間是（-a，+∞）．
（3）由（2）可知①當(dāng)a＞0時(shí)，（0，+∞）是函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，
且有$f（{e^{-\frac{1}{a}}}）={e^{-\frac{1}{a}}}-1＜1-1＜0，f（1）=1＞0$，此時(shí)函數(shù)有零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（-a）是函數(shù)f（x）的極小值，也是函數(shù)f（x）的最小值，
當(dāng)f（-a）=a（ln（-a）-1）＞0，即a＞-e時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)-e＜a≤0時(shí)，f（x）沒(méi)有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，屬于中檔題．