Question

6．已知函數(shù)f（x）=x⁴lnx-a（x⁴-1），a∈R．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）f（x）的極小值為φ（a），當(dāng)a＞0時(shí)，求證：$\frac{1}{4}（{{e^{1-\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}}）≤φ（a）＜0$．（e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底）

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的概念求切線的斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程即可；
（2）f（x）≥0恒成立，只需求出f（x）的最小值大于等于零即可，求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)a分類(lèi)討論，討論是否滿足題意；
（3）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極小值φ（a），對(duì)極小值進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)得出極小值的最大值等于零，右右不等式得證，再利用構(gòu)造函數(shù)的方法，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)證明左式成立．

解答 解：（1）f'（x）=4x³lnx+x³-4ax³．…（1分）
則f'（1）=1-4a．又f（1）=0，
所以，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（1-4a）（x-1）．…（3分）
（2）由（1）得f'（x）=x³（4lnx+1-4a）．
①當(dāng)$a≤\frac{1}{4}$時(shí)，因?yàn)閥=4lnx+1-4a為增函數(shù)，所以當(dāng)x≥1時(shí)，4lnx+1-4a≥4ln1+1-4a=1-4a＞0，
因此f'（x）≥0．
當(dāng)且僅當(dāng)$a=\frac{1}{4}$，且x=1時(shí)等號(hào)成立，
所以f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
因此，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=0．
所以，$a≤\frac{1}{4}$滿足題意．…（6分）
②當(dāng)$a＞\frac{1}{4}$時(shí)，由f'（x）=x³（4lnx+1-4a）=0，得$lnx=a-\frac{1}{4}$，
解得$x={e^{a-\frac{1}{4}}}$．
因?yàn)?a＞\frac{1}{4}$，所以$a-\frac{1}{4}＞0$，所以${e^{a-\frac{1}{4}}}＞{e^0}=1$．
當(dāng)$x∈（1，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$時(shí)，f'（x）＜0，因此f（x）在$（1，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$上為減函數(shù)．
所以當(dāng)$x∈（1，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$時(shí)，f（x）＜f（1）=0，不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{4}]$．…（9分）
（3）由f'（x）=x³（4lnx+1-4a）=0，得$lnx=a-\frac{1}{4}$，$x={e^{a-\frac{1}{4}}}$．
當(dāng)$x∈（0，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)$x∈（\;{e^{a-\frac{1}{4}}}，\;+∞）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
所以f（x）的極小值$φ（a）=f（{e^{a-\frac{1}{4}}}）$=$a-\frac{1}{4}{e^{4a-1}}$．…（10分）
由φ'（a）=1-e^4a-1=0，得$a=\frac{1}{4}$．
當(dāng)$a∈（0，\frac{1}{4}）$時(shí)，φ'（a）＞0，φ（a）為增函數(shù)；當(dāng)$a∈（\frac{1}{4}，+∞）$時(shí)，φ'（a）＜0，φ（a）為減函數(shù)．
所以$φ（a）≤φ（\frac{1}{4}）=0$．…（11分）
$φ（a）-\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）$=$a-\frac{1}{4}{e^{4a-1}}-\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）$=$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}$．
下證：a＞0時(shí)，$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}≥0$．
$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}≥0$，
∴$4a≥{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}$，
∴$ln（4a）≥1-\;\frac{1}{4a}$，
∴$ln（4a）+\frac{1}{4a}-1≥\;0$．…（12分）
令$r（a）=ln（4a）+\frac{1}{4a}-1$，則$r'（a）=\frac{1}{a}-\frac{1}{{4{a^2}}}=\frac{4a-1}{{4{a^2}}}$．
當(dāng)$a∈（0，\frac{1}{4}）$時(shí)，r'（a）＜0，r（a）為減函數(shù)；當(dāng)$a∈（\frac{1}{4}，+∞）$時(shí)，r'（a）＞0，r（a）為增函數(shù)．所以$r（a）≥r（\frac{1}{4}）=0$，即$ln（4a）+\frac{1}{4a}-1≥\;0$．
所以$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}≥0$，即$φ（a）-\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）≥0$．所以$φ（a）≥\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）$．
綜上所述，要證的不等式成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)函數(shù)的概念，恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的最值，難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)的構(gòu)造，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的分類(lèi)討論．