Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂=3，a₄-a₃=1．設(shè)等比數(shù)列{b_n}且b₂=a₄，b₃=a₈
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+d=3}\\{d=1}\end{array}}\right.$，求得首項(xiàng)及公差，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，即可求得a₄，a₈，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求得首項(xiàng)及公比，即可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知：采用分組求和，根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)的和S_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+{a_2}=3}\\{{a_4}-{a_3}=1}\end{array}}\right.$，可得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+d=3}\\{d=1}\end{array}}\right.$，…（1分）
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=1}\end{array}}\right.$，
∴由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知：a_n=a₁+（n-1）d=n，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n，
∴a₄=4，a₈=8
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則$\left\{{\begin{array}{l}{{b_1}q=4}\\{{b_1}{q^2}=8}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{b_1}=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，
∴${b_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$；
（2）∵${c_n}={a_n}+{b_n}=n+{2^n}$…（7分）
∴${S_n}=1+{2^1}+2+{2^2}+…+n+{2^n}=（1+2+…+n）+（{2^1}+{2^2}+…+{2^n}）$，
=$\frac{n（n+1）}{2}+\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}$，
=$\frac{n（n+1）}{2}+{2^{n+1}}-2$，
∴數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)的和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}+{2^{n+1}}-2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查分組求和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．