Question

6．如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA=3，BC=4，DF=$\frac{5}{2}$．求證：
（1）直線PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）由中位線定理得DE∥PA，由此能證明直線PA∥平面DEF．
（2）推導出DE⊥AC，DE⊥EF，從而DE⊥平面ABC，由此能證明平面BDE⊥平面ABC．

解答 證明：（1）∵在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點．
∴DE∥PA，
∵DE?平面DEF，PA?平面DEF，
∴直線PA∥平面DEF．
（2）∵DE∥PA，PA⊥AC，PA=3，BC=4，DF=$\frac{5}{2}$．
∴DE⊥AC，且DE=$\frac{1}{2}PA$=$\frac{3}{2}$，EF=$\frac{1}{2}BC=2$，
∴DE²+EF²=DF²，
∴DE⊥EF，
∴EF∩AC=E，EF，AC?平面ABC，
∴DE⊥平面ABC，
∵DE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABC．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．