Question

5．設函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：f（x₂）＞-$\frac{3+2ln2}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，結合二次函數(shù)的性質求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出f（x₂）=x₂²-2x₂+（2x₂-2x₂²）lnx₂，令F（t）=t²-2t+（2t-2t²）lnt，（$\frac{1}{2}$＜t＜1），得到F（t）=2（1-2t）lnt，根據(jù)函數(shù)的單調性求出F（t）＞F（$\frac{1}{2}$），從而證出結論；

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²-2x+alnx，f（x）的定義域為（0，+∞），
求導數(shù)得：f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$，
∵f（x）有兩個極值點x₁，x₂，f′（x）=0有兩個不同的正根x₁，x₂，
故2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，即a＜$\frac{1}{2}$，
且x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{a}{2}$＞0，所以a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1且f′（x₂）=0，得a=2x₂-2x₂²，
∴f（x₂）=x₂²-2x₂+（2x₂-2x₂²）lnx₂，
令F（t）=t²-2t+（2t-2t²）lnt，（$\frac{1}{2}$＜t＜1），
則F′（t）=2（1-2t）lnt，
當t∈（$\frac{1}{2}$，1）時，F(xiàn)′（t）＞0，∴F（t）在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)
∴F（t）＞F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{-3-2ln2}{4}$，
∴f（x₂）＞-$\frac{3+2ln2}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查不等式的證明，分類討論思想，是一道綜合題．