Question

20．中國農(nóng)大涿州東城防基地對冬季晝夜溫差大小于某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100棵種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如表資料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
溫差x（℃）	10	11	13	12	8
發(fā)芽y（顆）	23	25	30	26	16

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，剩下的2組數(shù)據(jù)用于回歸方程檢驗(yàn)．
回歸直線方程參考公式：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，
（1）請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$
（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（Ⅰ）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（3）請預(yù)測溫差為14℃的發(fā)芽數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，先做出x，y的平均數(shù)，即做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（2）根據(jù)估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，就認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，根據(jù)求得的結(jié)果和所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得到所求的方程是可靠的．
（3）將x=14代入（1）中所得的回歸直線方程，即可得到溫差為14℃的預(yù)報(bào)值．

解答 解：（1）由數(shù)據(jù)，求得$\overline{x}$=12，$\overline{y}$=27．
由公式，求得$\stackrel{∧}$=2.5，$\stackrel{∧}{a}$=-3
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=2.5x-3．
（2）當(dāng)x=10時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=2.5×10-3=22，|22-23|＜2；
同樣當(dāng)x=8時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=2.5×8-3=17，|17-16|＜2；
∴該研究所得到的回歸方程是可靠的．
（3）當(dāng)x=14時(shí)，則$\stackrel{∧}{y}$=2.5×14-3=32，
所以當(dāng)溫差為14℃的發(fā)芽數(shù)約為32．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計(jì)驗(yàn)算所求的方程是否是可靠的，是一個(gè)綜合題目．