Question

13．已知關(guān)于x的不等式ax²+ax+2＞0的解集為R，記實(shí)數(shù)a的所有數(shù)值構(gòu)成的集合為M．
（1）求M；
（2）若t＞0，對(duì)?a∈M，有（a²-2a）t≤t²+3t-46，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a進(jìn)行討論求解不等式ax²+ax+2＞0的解集為R．可得a的范圍，即集合M．
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造參數(shù)方程求解．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)2＞0，滿足題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，要使不等式ax²+ax+2＞0的解集為R．
需滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-8a＜0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜8．
綜上可得：0≤a＜8．，
所以：集合M={a|0≤a＜8}．
（2）因?yàn)閠＞0，由（a²-2a）t≤t²+3t-46，
得：a²-2a≤$\frac{{t}^{2}+3t-46}{t}$，
對(duì)于a∈M，可得：a²-2a∈[-1，48）．
所以：$\frac{{t}^{2}+3t-46}{t}$≥48，即：t²-45t-46≥0，
解得：t≥46或t≤-1，
∵t＞0
∴t≤-1（舍去）
所以t的最小值為46．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次方程的系數(shù)討論的解集問題．同時(shí)考查了分離參數(shù)，構(gòu)造參數(shù)方程思想解決恒成立的問題．屬于中檔題．