Question

6．對于無窮數(shù)列{a_n}與{b_n}，記A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}，若同時滿足條件：①{a_n}，{b_n}均單調(diào)遞增；②A∩B=∅且A∪B=N^*，則稱{a_n}與{b_n}是無窮互補數(shù)列．
（1）若a_n=2n-1，b_n=4n-2，判斷{a_n}與{b_n}是否為無窮互補數(shù)列，并說明理由；
（2）若a_n=2ⁿ且{a_n}與{b_n}是無窮互補數(shù)列，求數(shù)量{b_n}的前16項的和；
（3）若{a_n}與{b_n}是無窮互補數(shù)列，{a_n}為等差數(shù)列且a₁₆=36，求{a_n}與{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）{a_n}與{b_n}不是無窮互補數(shù)列．由4∉A，4∉B，4∉A∪B=N^*，即可判斷；
（2）由a_n=2ⁿ，可得a₄=16，a₅=32，再由新定義可得b₁₆=16+4=20，運用等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和；
（3）運用等差數(shù)列的通項公式，結合首項大于等于1，可得d=1或2，討論d=1，2求得通項公式，結合新定義，即可得到所求數(shù)列的通項公式．

解答 解：（1）{a_n}與{b_n}不是無窮互補數(shù)列．
理由：由a_n=2n-1，b_n=4n-2，可得4∉A，4∉B，
即有4∉A∪B=N^*，即有{a_n}與{b_n}不是無窮互補數(shù)列；
（2）由a_n=2ⁿ，可得a₄=16，a₅=32，
由{a_n}與{b_n}是無窮互補數(shù)列，可得b₁₆=16+4=20，
即有數(shù)列{b_n}的前16項的和為
（1+2+3+…+20）-（2+4+8+16）=$\frac{1+20}{2}$×20-30=180；
（3）設{a_n}為公差為d（d為正整數(shù)）的等差數(shù)列且a₁₆=36，則a₁+15d=36，
由a₁=36-15d≥1，可得d=1或2，
若d=1，則a₁=21，a_n=n+20，b_n=n（1≤n≤20），
與{a_n}與{b_n}是無窮互補數(shù)列矛盾，舍去；
若d=2，則a₁=6，a_n=2n+4，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n≤5}\\{2n-5，n＞5}\end{array}\right.$．
綜上可得，a_n=2n+4，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n≤5}\\{2n-5，n＞5}\end{array}\right.$．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查運算和推理能力，屬于中檔題．