Question

17．已知f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x≤0時，f（x）=x²+2x，那么，不等式f（x+2）＜3的解集是{x|-5＜x＜1}．

Answer 1

分析 先求出x＞0時的解析式，由偶函數(shù)性質(zhì)得：f（-x）=f（x），則f（x+2）＜3可變?yōu)閒（|x+2|）＜3，代入已知表達式可表示出不等式，先解出|x+2|的范圍，再求x范圍即可．

解答 解：設(shè)x＞0，則-x＜0，
因為當x≤0時，f（x）=x²+2x，
所以f（-x）=x²-2x，
因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=x²-2x，
因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（|x+2|）=f（x+2），
則f（x+2）＜3可化為f（|x+2|）＜3，即|x+2|²-2|x+2|＜3，（|x+2|+1）（|x+2|-3）＜0，
所以|x+2|＜3，解得-5＜x＜1，
所以不等式f（x+2）＜3的解集是{x|-5＜x＜1}．
故答案為：{x|-5＜x＜1}．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函數(shù)性質(zhì)把不等式具體化是解決本題的關(guān)鍵