3.已知函數(shù)f(x)=ex+ax-1 (a∈R).
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)設(shè)函數(shù)g(x)=$\frac{{e}^{2}({x}^{2}-a)}{f(x)-ax+1}$,當(dāng)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2)時(shí),總有λ[(2x1-x12)e${\;}^{2-{x}_{1}}$-a]-x2g(x1)≥0,求實(shí)數(shù)λ的值或取值范圍.

分析 (Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex+a,然后可討論a的符號,從而可判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,這樣便可得出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求導(dǎo)數(shù)g′(x)=(2x-x2+a)e2-x,根據(jù)條件便可得出a>-1,且x1+x2=2,x1<1,這樣由$λ[(2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}){e}^{2-{x}_{1}}-a]-{x}_{2}g({x}_{1})≥0$即可得到不等式${x}_{1}[2{e}^{2-{x}_{1}}-λ({e}^{2-{x}_{1}}+1)]≤0$ 對任意的x1∈(-∞,1)恒成立,這樣討論x1的取值:x1=0,x1∈(0,1),及x1∈(-∞,0),這樣通過解λ及函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)范圍即可求出每種情況的λ的取值,從而得出λ的取值.

解答 解:f′(x)=ex+a;
①當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0恒成立,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
②當(dāng)a<0時(shí),由f′(x)>0,得x>ln(-a);由f′(x)<0,得x<ln(-a),
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ln(-a),+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,ln(-a)).
綜上所述,當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞);
當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ln(-a),+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,ln(-a));
(Ⅱ)g′(x)=(2x-x2+a)e2-x
根據(jù)題意,方程-x2+2x+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2(x1<x2
∴△=4+4a>0,即a>-1,且x1+x2=2,又x1<x2,∴x1<1;
由$λ[(2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}){e}^{2-{x}_{1}}-a]-{x}_{2}g({x}_{1})≥0$可得:
$λ[(2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}){e}^{2-{x}_{1}}-a]≥(2-{x}_{1})({{x}_{1}}^{2}-a){e}^{2-{x}_{1}}$
因$-{{x}_{1}}^{2}+2{x}_{1}+a=0$,∴上式化為$λ[(2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}){e}^{2-{x}_{1}}+(2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2})]≥$$(2-{x}_{1})(2{x}_{1}){e}^{2-{x}_{1}}$,
即不等式${x}_{1}[2{e}^{2-{x}_{1}}-λ({e}^{2-{x}_{1}}+1)]≤0$ 對任意的x1∈(-∞,1)恒成立,
(i)當(dāng)x1=0 時(shí),不等式${x}_{1}[2{e}^{2-{x}_{1}}-λ({e}^{2-{x}_{1}}+1)≤0$ 恒成立,λ∈R;
(ii)當(dāng)x1∈(0,1)時(shí),$[2{e}^{2-{x}_{1}}-λ({e}^{2-{x}_{1}}+1)]≤0$ 恒成立,即$λ≥\frac{2{e}^{2-{x}_{1}}}{{e}^{2-{x}_{1}}+1}$,
令函數(shù)$k(x)=\frac{2{e}^{2-{x}_{1}}}{{e}^{2-{x}_{1}}+1}=2-\frac{2}{{e}^{2-{x}_{1}}+1}$,顯然,k(x) 是R上的減函數(shù),
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),$k(x)<k(0)=\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$,∴$λ≥\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$
(iii)當(dāng)x1∈(-∞,0)時(shí),$[2{e}^{2-{x}_{1}}-λ({e}^{2-{x}_{1}}+1)]≥0$ 恒成立,即$λ≤\frac{2{e}^{2-{x}_{1}}}{{e}^{2-{x}_{1}}+1}$,
由(ii),當(dāng)x∈(-∞,0),$k(x)≥k(0)=\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$ 時(shí),∴$λ≤\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$
綜上,$λ=\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$.

點(diǎn)評 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和過程,以及基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法,一元二次方程實(shí)根個(gè)數(shù)和判別式△的關(guān)系,韋達(dá)定理,以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)性定義.

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