Question

7．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且$\sqrt{3}$asinB-bcosA=b，
（1）求∠A的大�。�
（2）若b+c=4，當(dāng)a取最小值時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （　�。�1）由題意和正弦定理可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得角A；
（2）由余弦定理可得a²=4-3bc，再由已知式子和基本不等式可得bc的范圍，可得此時邊長，可得三角形的面積．

解答 解：（1）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且$\sqrt{3}$asinB-bcosA=b，
由正弦定理可得$\sqrt{3}$sinAsinB-sinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
即2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A的范圍可得A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc，
由基本不等式可得bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²=4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號，
故-bc≥-4，∴-3bc≥-12，故a²=16-3bc≥4，
∴a的最小值為2，此時△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和和差角的三角函數(shù)公式，屬中檔題．