Question

已知拋物線y=ax²（a＞0）上兩個(gè)動點(diǎn)A、B（不在原點(diǎn)），滿足

OA

⊥OB，若存在定點(diǎn)M，使得

OM

=λ

OA

+μ

OB

且λ+μ=1，則M坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知得A，B，M三點(diǎn)共線，于是問題轉(zhuǎn)化為動直線過定點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1=ax12，y2=ax22，由此利用點(diǎn)差法求出直線AB過定點(diǎn)（0，

1

a

），M點(diǎn)坐標(biāo)是（0，

1

a

）．

解答： 解：由

OM

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1，
得

OM

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，
即

BM

=λ

BA

，
∴A，B，M三點(diǎn)共線，于是問題轉(zhuǎn)化為動直線過定點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1=ax12，y2=ax22，
兩式相減，得y₁-y₂=a（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=a(x1+x2)，
∴直線AB方程為y-y₁=a（x₁+x₂）（x-x₁），
即y=a（x₁+x₂）（x-x₁）+y₁=a（x₁+x₂）x-ax12-ax1x2+ax12=a（x₁+x₂）x-ax₁x₂，①
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即x1x2+ax12x22=0，∴a²x₁x₂=-1，②
把②代入①，得y=a（x₁+x₂）x+

1

a

，
∴直線AB過定點(diǎn)（0，

1

a

），M點(diǎn)坐標(biāo)是（0，

1

a

）．
故答案為：（0，

1

a

）．

點(diǎn)評：本題考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．