Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上頂點為（0，2），且離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）從橢圓C上一點P向圓x²+y²=1引兩條切線，切點為A，B，當直線AB分別與x軸，y軸交于N，M兩點時，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知b=2，利用離心率公式及a，b，c的關系得出a，得出橢圓方程；
（2）設點P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用切線性質求出兩條切線方程，根據(jù)P為切線的公共點得出三點坐標的關系，從而利用P點坐標表示出直線AB的方程，得出M，N的坐標，利用基本不等式得出|MN|的最小值．

解答 解：（1）∵（0，2）為橢圓的一個頂點，∴b=2，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，∴a=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）設點P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴圓過A點的方程為：x₁x+y₁y=1，圓過點B的方程為：x₂x+y₂y=1，
∵兩條切線都過點P，∴x₁x₀+y₁y₀=1，x₂x₀+y₂y₀=1，
∴直線AB的方程為：x₀x+y₀y=1，
∴$M（0，\frac{1}{y_0}），N（\frac{1}{x_0}，0）$，
∴$|MN{|^2}=\frac{1}{{{x_0}^2}}+\frac{1}{{{y_0}^2}}=（\frac{1}{{{x_0}^2}}+\frac{1}{{{y_0}^2}}）•（\frac{{{x_0}^2}}{9}+\frac{{{y_0}^2}}{4}）$
=$\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+\frac{{{x_0}^2}}{{9{y_0}^2}}+\frac{{{y_0}^2}}{{4{x_0}^2}}≥\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{1}{9}•\frac{1}{4}}=\frac{25}{36}$，
當且僅當${x_0}^2=\frac{18}{5}，{y_0}^2=\frac{12}{5}$時取等號，
∴|MN|的最小值為$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查了橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．