Question

8．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$是兩個(gè)相互垂直的單位向量，而|$\overrightarrow c$|=13，$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=3，$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$=4，則對于任意實(shí)數(shù)t₁，t₂，則|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a-{t_2}$$\overrightarrow b$|的最小值是12．

Answer 1

分析 將所求先平方展開，利用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$是兩個(gè)相互垂直的單位向量，|$\overrightarrow c$|=13，$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=3，$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$=4，進(jìn)行化簡變形，得到所求．

解答 解：因?yàn)?\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$是兩個(gè)相互垂直的單位向量，而|$\overrightarrow c$|=13，$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=3，$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$=4，
所以|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a-{t_2}$$\overrightarrow b$|²=${\overrightarrow{c}}^{2}+{t}_{1}{\overrightarrow{a}}^{2}+{t}_{2}{\overrightarrow}^{2}-2{t}_{1}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-2{t}_{2}\overrightarrow{c}•\overrightarrow$+2${t}_{1}{t}_{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=169+${{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}-6{t}_{1}-8{t}_{2}$=$（{t}_{1}-3）^{2}+（{t}_{2}-4）^{2}+144$，
所以當(dāng)t₁=3，t₂=4時(shí)取最小值144，所以|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a-{t_2}$$\overrightarrow b$|的最小值為12；
故答案為：12

點(diǎn)評 本題考查了向量垂直的性質(zhì)以及向量的平方運(yùn)算；注意，向量的平方等于其模的平方．