Question

9．命題p：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是空集，命題q：已知二次函數(shù)f（x）=x²-mx+2滿足$f（\frac{3}{2}+x）=f（\frac{3}{2}-x）$，且當x∈[0，a]時，最大值是2，若命題“p且q”為假，“p或q”為真，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：由關于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是空集，可得△≤0，解得p的取值范圍．由已知得二次函數(shù)f（x）=x²-mx+2的對稱軸為$x=\frac{3}{2}$，可得m，可得f（x）=x²-3x+2，當x∈[0，a]時，最大值是2，由對稱性知a的取值范圍．由命題“p且q”為假，“p或q”為真，可知：p，q恰一真一假．

解答 解：對于命題p：∵關于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是空集，
∴△=-3a²-2a+1≤0，解得$p：a≤-1\;或a≥\frac{1}{3}$，
由已知得二次函數(shù)f（x）=x²-mx+2的對稱軸為$x=\frac{3}{2}$，
即$-\frac{-m}{2}=\frac{3}{2}$，∴m=3，f（x）=x²-3x+2，
當x∈[0，a]時，最大值是2，由對稱性知q：0＜a≤3．
由命題“p且q”為假，“p或q”為真，可知：p，q恰一真一假．
當p真q假時，$\left\{{\begin{array}{l}{a≤-1\;或a≥\frac{1}{3}}\\{a≤0\;或a＞3}\end{array}}\right.$，∴a≤-1或a＞3，
當p假q真時，$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜a＜\frac{1}{3}}\\{0＜a≤3}\end{array}}\right.$，∴$0＜a＜\frac{1}{3}$，
綜上可得，$a∈（-∞，-1]∪（0，\frac{1}{3}）∪（3，+∞）$．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．