Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³-9x，g（x）=3x²+a．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求a的值；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)b使不等式f（x）＜g（x）的解集為（-∞，b），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同的解x₁，x₂，x₃，且它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，寫出實(shí)數(shù)a的值．（只需寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)f（x）與g（x）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{0}^{2}-9=6{x}_{0}}\\{{x}_{0}^{3}-9{x}_{0}=3{x}_{0}^{2}+a}\end{array}\right.$，即可解得a的值．
（Ⅱ）令h（x）=x³-3x²-9x，則y=h（x）的圖象在直線y=a下方的部分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x∈（-∞，b），由h′（x）=3x²-6x-9=0，解得x的值．判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用最值求解即可．
（Ⅲ）利用（Ⅱ），通過二次求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為0，求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合等差數(shù)列求解a即可．

解答 （本題滿分為14分）
解：（Ⅰ）設(shè)f（x）與g（x）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{0}^{2}-9=6{x}_{0}}\\{{x}_{0}^{3}-9{x}_{0}=3{x}_{0}^{2}+a}\end{array}\right.$，
解得x₀=-1或x₀=3，
解得a的值為：5或-27．
（Ⅱ）令h（x）=x³-3x²-9x，則y=h（x）的圖象在直線y=a下方的部分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x∈（-∞，b），
由h′（x）=3x²-6x-9=0，解得x的值．
h′（x），h（x）的情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
h（x）	+	0	-	0	+
h′（x）	增	極大值	減	極小值	增

因?yàn)閔（a²+5）=（a²+5）（a⁴+7a²+1）＞a²+5≥2$\sqrt{5}$|a|≤a，即h（a²+5）＞a；
h（-a²-2）=-（a²+2）（a⁴+7a²+1）＜-（a²+2）≤-2$\sqrt{2}$|a|≤a，即h（-a²-2）＜a，
（或者：因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，當(dāng)x→-∞時(shí)，h（x）→-∞），
又因?yàn)椋篽（x）_max=h（-1）=5，h（x）_min=h（3）=-27．
所以當(dāng)a＞5或a≤-27滿足條件．
（Ⅲ）由（Ⅱ）h（x）=x³-3x²-9x，h′（x）=3x²-6x-9，
則h′′（x）=6x-6，令6x-6=0，可知x=1，此時(shí)y=-11，
函數(shù)h（x）的對(duì)稱中心為：（1，-11），
方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同的解x₁，x₂，x₃，
且它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，實(shí)數(shù)a的值：-11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查方程的解的情況，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算化簡能力，屬于難題．