13.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且 acosC+$\frac{1}{2}$c=b.
(1)求角A的大。
(2)若a=1,求周長P的取值范圍.

分析 (1)利用正弦定理與和差公式即可得出.
(2)解法一:由余弦定理得$1={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={(b+c)^2}-3bc$,再利用基本不等式的性質(zhì)可得:b+c≤2,又 b+c>2-1=1,即可得出.
解法二:由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{{sin(\frac{2π}{3}-B)}}=\frac{1}{{sin\frac{π}{3}}}$,可得周長$P=b+c+1=\frac{2}{{\sqrt{3}}}[sinB+sin(\frac{2π}{3}-B)]+1=1+(\sqrt{3}sinB+cosB)=1+2sin(B+\frac{π}{6})$,利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出.

解答 解:(1)由$acosC+\frac{1}{2}c=b$及正弦定理知:$sinAcosC+\frac{1}{2}sinC=sinB$,
∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴$sinAcosC+\frac{1}{2}sinC$=sinAcosC+cosAsinC,
即$\frac{1}{2}sinC=cosAsinC$,∴$cosA=\frac{1}{2}$,∵A∈(0,π),∴$A=\frac{π}{3}$.
(2)解法一:由余弦定理得$1={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={(b+c)^2}-3bc$$≥\frac{1}{4}{(b+c)^2}$,
∴b+c≤2,
又   b+c>2-1=1,∴1<b+c≤2,即周長P=b+c+1∈(2,3].
解法二:由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{{sin(\frac{2π}{3}-B)}}=\frac{1}{{sin\frac{π}{3}}}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinB\\ c=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sin(\frac{2π}{3}-B)\end{array}\right.$,
∴周長$P=b+c+1=\frac{2}{{\sqrt{3}}}[sinB+sin(\frac{2π}{3}-B)]+1=1+(\sqrt{3}sinB+cosB)=1+2sin(B+\frac{π}{6})$,
∵$B∈(0,\frac{2π}{3})$,∴$B+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6},\frac{5π}{6})∴sin(B+\frac{π}{6})∈(\frac{1}{2},1]$,
從而周長P=b+c+1∈(2,3].

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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