Question

19．如圖，設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F的直線l₁交拋物線C于A，B兩點，且|AB|=8，線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3．直線l₂與圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$切于點P，與拋物線C切于點Q，則△FPQ的面積（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用中點坐標公式、焦點弦長公式即可得出拋物線方程；設l₂：y=kx+m，由l₂與⊙O相切可得2m²=1+k²，直線與拋物線方程聯(lián)立可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，利用直線l₂與拋物線相切，可得△=0可得km=1，聯(lián)立解出k，m．得出Q坐標，|PQ|，直線l₂方程，利用點到直線l₂的距離公式可得F（1，0）到的距離．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3，∴x₁+x₂=6，
又|AB|=x₁+x₂+p=8，∴p=2，
故拋物線C的方程為y²=4x；
設l₂：y=kx+m，由l₂與⊙O相切得$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴2m²=1+k²①，
由l₂：y=kx+m與拋物線方程聯(lián)立可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，（*）
∵直線l₂與拋物線相切，
∴△=（2km-4）²-4k²m²=0⇒km=1②
由 ①，②得k=$\frac{1}{m}$=±1，
∴方程（*）為x²-2x+1=0，解得x=1，
∴Q（1，±2），
∴|PQ|=$\sqrt{O{Q}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{1+4-\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
此時直線l₂方程為y=x+1或y=-x-1，
∴令F（1，0）到l₂的距離為d=$\sqrt{2}$，
∴S_△PQF=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故選A．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、焦點弦長公式、直線與圓及其拋物線相切轉化為方程聯(lián)立可得△=0、弦長公式、三角形的面積計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．