Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin$\frac{πx}{2}$，任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最大值為M_t，最小值為m_t，記h（t）=M_t-m_t．
（1）求h（0）的值，并求出方程h（t）=2的根；
（2）當(dāng)t∈[-2，2]時，求函數(shù)h（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意可得函數(shù)的周期為4，由h（0）=M₀-m₀ 求得結(jié)果．方程h（t）=2，即M_t-m_t=2，即 M_t=1，m_t=-1，結(jié)合f（x）的圖象求得t的值．
（2）當(dāng)t∈[-2，2]時，分類討論分別求得M_t和m_t的值，可得h（t）=M_t-m_t的值．
g（t+4）=M_t-m_t=g（t），然后探索-2≤t≤0的函數(shù)f（x）的最值，以及g（t）的解析式，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin$\frac{πx}{2}$，它的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，畫出函數(shù)f（x）的部圖象，
如右圖，任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最大值為M_t，最小值為m_t，
記h（t）=M_t-m_t ，則h（0）=M₀-m₀=1-0=1．
方程h（t）=2，即M_t-m_t=2，即 M_t=1，m_t=-1，此時，t=2k+1，k∈Z．
（2）當(dāng)t∈[-2，2]時，
若-2≤t＜-1，M_t=sin（$\frac{t+2}{2}π$）=-sin$\frac{π}{2}$t，m_t=-1，g（t）=M_t-m_t =-sin$\frac{π}{2}$t+1．
若-1≤t＜0，M_t=1，m_t=sin$\frac{π}{2}$t，g（t）=M_t-m_t =1-sin$\frac{π}{2}$t，
若0≤t＜1，M_t=1，m_t=sin（$\frac{t+2}{2}π$）=-sin$\frac{π}{2}$t，g（t）=M_t-m_t =1+sin$\frac{π}{2}$t．
若1≤t≤2，M_t=sin$\frac{π}{2}$t，m_t=-1，g（t）=M_t-m_t =sin$\frac{π}{2}$t+1，
綜上可得，函數(shù)h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{1-sin\frac{π}{2}t，t∈[-2，0）}\\{1+sin\frac{π}{2}t，t∈[0，2]}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的周期性以及應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)寫出函數(shù)式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．