Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₃=5，a₅=9；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2[1-（

1

2

）ⁿ]．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=

an

bn

（n∈N₊），T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意求出等差數(shù)列的公差、首項(xiàng)，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a_n，由題意和數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系式求出b_n；
（Ⅱ）先利用條件求出c_n，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₃=5，a₅=9，
所以公差d=

1

2

(a5-a3)=2，
因?yàn)閍₃=5，所以a₁=1．故a_n=2n-1，…（3分）
因?yàn)閿?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2[1-（

1

2

）ⁿ]．
所以當(dāng)n=1時(shí)，S₁=b₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=2[1-(

1

2

)n]-2[1-(

1

2

)n-1]=(

1

2

)n-1，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)也適合上式，則bn=(

1

2

)n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=

an

bn

=(2n-1)•2n-1，
則Tn=1•20+3•21+5•22+…+(2n-3)•2n-2+(2n-1)n-1，
2Tn=1•2+3•21+…+(2n-3)•2n-1=(2n-1)•2n…（9分）
兩式相減可得：
-Tn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-(2n-1)•2n
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n，
=-3+（3-2n）•2ⁿ…（11分）
所以Tn=3+(2n-3)•2n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系式，以及數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，一般應(yīng)先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)其特點(diǎn)選擇求和方法，考查化簡(jiǎn)能力．