Question

15．當(dāng)x∈[2，8]時(shí)，關(guān)于x的不等式log₂x+log_x16-a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤4．

Answer 1

分析 當(dāng)x∈[2，8]時(shí)，log₂x∈[1，3]．關(guān)于x的不等式log₂x+log_x16-a≥0恒成立，可得：a≤$（lo{g}_{2}x+\frac{4}{lo{g}_{2}x}）_{min}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵當(dāng)x∈[2，8]時(shí)，log₂x∈[1，3]．
關(guān)于x的不等式log₂x+log_x16-a≥0恒成立，
∴a≤$（lo{g}_{2}x+\frac{4}{lo{g}_{2}x}）_{min}$
∵log₂x∈[1，3]，∴$lo{g}_{2}x+\frac{4}{lo{g}_{2}x}$≥$2\sqrt{lo{g}_{2}x•\frac{4}{lo{g}_{2}x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號(hào)．
∴a≤4．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤4．
故答案為：a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．