Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=$\sqrt{2}$，點(diǎn)E在AD上，且AE=2ED．
（Ⅰ）已知點(diǎn)F在BC上，且CF=2FB，求證：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)二面角A-PB-E的余弦值為多少時(shí)，直線PC與平面PAB所成的角為45°？

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出∠ACB=45°，從而∠ACD=45°，進(jìn)而四邊形ABFE是平行四邊形，推導(dǎo)出AC⊥EF，PA⊥EF，從而EF⊥平面PAC，由此能證明平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）由PA⊥AC，AC⊥AB，知AC⊥平面PAB，則∠APC為直線PC與平面PAB所成的角，取BC的中點(diǎn)為G，連接AG，則AG⊥BC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出直線PC與平面PAB所成的角．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，
∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠ACD=45°，即AD=CD，
∴$BC=\sqrt{2}AC=2AD$，
∵AE=2ED，CF=2FB，∴$AE=BF=\frac{2}{3}AD$，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，則AB∥EF，
∴AC⊥EF，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵PA∩AC=A，
∴EF⊥平面PAC，∵EF?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥AC，AC⊥AB，
∴AC⊥平面PAB，
則∠APC為直線PC與平面PAB所成的角，
若PC與平面PAB所成夾角為45°，則$tan∠APC=\frac{AC}{PA}=1$，即$PA=AC=\sqrt{2}$，
取BC的中點(diǎn)為G，連接AG，則AG⊥BC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則B（1，-1，0），C（1，1，0），$E（0，\frac{2}{3}，0）$，$P（0，0，\sqrt{2}）$，
∴$\overrightarrow{EB}=（1，-\frac{5}{3}，0）$，$\overrightarrow{EP}=（0，-\frac{2}{3}，\sqrt{2}）$，
設(shè)平面PBE的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{EB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EP}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{5}{3}y=0\\-\frac{2}{3}y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$
令y=3，則x=5，$z=\sqrt{2}$，∴$\overrightarrow n=（5，3，\sqrt{2}）$，
∵$\overrightarrow{AC}=（1，1，0）$是平面PAB的一個(gè)法向量，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{AC}＞=\frac{5+3}{{\sqrt{2}×6}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
即當(dāng)二面角A-PB-E的余弦值為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$時(shí)，直線PC與平面PAB所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．