Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列命題正確的有幾個(gè)．（　�。�
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使a^x，b^x，c^x不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；
③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈（1，2），使f（x）=0．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以a．b．c構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行證明．②由于涉及不可能問(wèn)題，因此可以舉反例進(jìn)行判斷．③利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷．

解答 解：①∵a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，
∴a+b＞c，
∵c＞a＞0，c＞b＞0，
∴0$＜\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，
當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f（x）=a^x+b^x-c^x=${c}^{x}[（\frac{a}{c}）^{x}+（\frac{c}）^{x}-1]$＞${c}^{x}•\frac{a+b-c}{c}$＞0，∴①正確．
②令a=2，b=3，c=4，則a．b．c可以構(gòu)成三角形，但a²=4，b²=9，c²=16卻不能構(gòu)成三角形，∴②正確．
③∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC為鈍角三角形，∴a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴根據(jù)根的存在性定理可知在區(qū)間（1，2）上存在零點(diǎn)，即?x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合性較強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，考查函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及余弦定理的應(yīng)用，難度較大．