Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin x+$\sqrt{3}$cos x，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①函數(shù)f（x）的最大值為2；        
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
④若實(shí)數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=$\frac{7π}{3}$；
⑤設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+2x，若g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）=-2π，則θ=-$\frac{π}{3}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 把函數(shù)利用兩角和的正弦化為y=Asin（ωx+φ）的形式，求出最大值判斷①；由f（$-\frac{π}{6}$）≠0判斷②；把h（x）變形判斷③；數(shù)形結(jié)合判斷④，由已知條件求得θ值判斷⑤．

解答 解：f（x）=sin x+$\sqrt{3}$cos x=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
①函數(shù)f（x）的最大值為2，故①正確；        
②∵f（$-\frac{π}{6}$）=2sin（$-\frac{π}{6}+\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{6}$=1，故②錯(cuò)誤；
③∵h(yuǎn)（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$）=2sin（x-π+$\frac{π}{3}$）=-2sin（x+$\frac{π}{3}$），∴函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故③正確；
④作出f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象如圖，
如圖方程的解即為直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)，在[0，2π]上，當(dāng)m=$\sqrt{3}$時(shí)，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，
令sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，即x=2kπ，或x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，即x=2kπ+$\frac{π}{3}$，
∴此時(shí)x₁=0，x₂=$\frac{π}{3}$，x₃=2π，
∴x₁+x₂+x₃=0+$\frac{π}{3}$+2π=$\frac{7π}{3}$，故④正確；
⑤函數(shù)g（x）=f（x）+2x=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2x，由g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）=-2π，
得2sin（θ-1+$\frac{π}{3}$）+2θ-2+2sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2θ+2sin（θ+1+$\frac{π}{3}$）+2θ+2=$2sin（θ+\frac{π}{3}）（1+2cos1）+6θ$=-2π．
∴$sin（θ+\frac{π}{3}）=0，6θ=-2π$，則θ=-$\frac{π}{3}$，故⑤正確．
∴正確的命題為：①③④⑤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．