Question

8．如圖，在矩形ABCD中，$AB=6，BC=2\sqrt{3}$，沿對角線BD將三角形ABD向上折起，使點A移至點P，且點P在平面BCD上的射影O在DC上，
（1）求證：BC⊥PD；
（2）若M為PC的中點，求二面角B-DM-C的大小．

Answer 1

分析 （1）由OP⊥平面BCD得出BC⊥OP，結(jié)合BC⊥CD得出BC⊥平面PCD，故而BC⊥PD；
（2）以O(shè)為原點建立坐標系，求出兩平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角得出二面角的大�。�

解答 證明：（1）∵OP⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴OP⊥BC，又BC⊥CD，CD?平面PCD，OP?平面PCD，OP∩CD=O，
∴BC⊥平面PCD，又PD?平面PCD，
∴BC⊥PD．
（2）∵PD⊥BC，PD⊥PB，∴PD⊥平面PBC，
∴PD⊥PC，∴PC=$\sqrt{C{D}^{2}-P{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，∴PO=$\frac{PD•PC}{CD}$=2$\sqrt{2}$，OD=$\sqrt{P{D}^{2}-O{P}^{2}}$=2，OC=4．
以O(shè)為原點，以平行于BC的直線為x軸，以O(shè)C為y軸，以O(shè)P為z軸建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），P（0，0，2$\sqrt{2}$），D（0，-2，0），C（0，4，0），B（2$\sqrt{3}$，4，0），M（0，2，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{DB}$=（2$\sqrt{3}$，6，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，4，$\sqrt{2}$），
設(shè)平面DBM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x+6y=0}\\{4y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，2$\sqrt{2}$），
∵BC⊥平面PCD，∴$\overrightarrow{CB}$=（2$\sqrt{3}$，0，0）為平面CDM的一個法向量，
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{1}{2}$．
∴二面角B-DM-C的大小為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，二面角的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．