Question

2．若函數(shù)f（x）=x³-3x在[a，6-a²）上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-$\sqrt{5}$，1）
• B． [-$\sqrt{5}$，1）
• C． [-2，1）
• D． （-$\sqrt{5}$，-2]

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù) f（x）在區(qū)間（a，6-a²）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：a＜1＜5-a²，進(jìn)而求出正確的答案．

解答 解：由題意可得：函數(shù) f（x）=x³-3x，
所以f′（x）=3x²-3．
令f′（x）=3x²-3=0可得，x=±1；
因?yàn)楹瘮?shù) f（x）在區(qū)間（a，6-a²）上有最小值，其最小值為f（1），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，6-a²）內(nèi)先減再增，
即f′（x）先小于0然后再大于0，
所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：a≤1＜6-a²，
且f（a）=a³-3a≥f（1）=-2，且6-a²-a＞0，
聯(lián)立解得：-2≤a＜1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)的作用，即求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的最值，并且進(jìn)行正確的運(yùn)算．