Question

4．過點P（1，0）作拋物線y=$\sqrt{x-2}$的切線，求該切線與拋物線y=$\sqrt{x-2}$及x軸所圍平面圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體體積．

Answer 1

分析 首先根據切線方程求得切線的斜率，并且求得切線方程，在根據積分求得，旋轉體的體積．

解答 解：設切點坐標為（x₀，y₀）則${y}_{0}=\sqrt{{x}_{0}-2}$
y=$\sqrt{x-2}$
$y′=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$
則切線方程為：$y-{y}_{0}=\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}（x-{x}_{0}）$
且切線通過點P（1，0）
∴代入上面方程，解得：x₀=3
切點坐標為（3，1）
切線方程：$y=\frac{1}{2}（x-1）$
切線與拋物線及x軸旋轉一周所成旋轉體的體積
$V={∫π}_{1}^{3}[\frac{1}{2}（x-1）]^{2}dx$-${π∫}_{2}^{3}（\sqrt{x-2}）^{2}dx$
=$\frac{π}{12}（\frac{x}{2}-\frac{1}{2}）^{3}{丨}_{1}^{3}$-$π\(zhòng)frac{（x-2）^{2}}{2}{丨}_{2}^{3}$
=$\frac{π}{6}$
故答案為$\frac{π}{6}$

點評 本題考查求切線方程，利用積分求旋轉體的體積，屬于中檔題．