Question

8．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦點；
②在平面內(nèi)，設(shè)A，B為兩個定點，P為動點，且|PA|+|PB|=k，其中常數(shù)k為正實數(shù)，則動點P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線離心率；
④過雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的右焦點F作直線l交雙曲線與A，B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線l有且僅有3條．
其中真命題的序號為①④．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷①；根據(jù)橢圓的定義判斷②；根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率的范圍判斷③；過右焦點的直線與雙曲線交于兩點可分為兩種情況，一種是兩點都在右支上，一種是與左右兩支各有一交點，分別確定兩種情況各有幾條直線滿足條件即可判斷④

解答 解：對于①：雙曲線c²=a²+b²=25，橢圓c²=a²-b²=25，雙曲線與橢圓的焦點坐標(biāo)都是（±5，0），故①正確；
對于②：根據(jù)橢圓定義，只有k＞|AB|時，動點P的軌跡才是橢圓，故②不正確；
對于③：方程2x²-x+1=0的兩根${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=1$，而雙曲線的離心率e＞1，故③不正確；
對于④：過右焦點的直線與雙曲線交于兩點可分為兩種情況，一種是兩點都在右支上，一種是與左右兩支各有一交點．
由雙曲線的方程可知，a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，故雙曲線的實軸長2a=2，則與雙曲線相交于左右兩支，且|AB|=4的直線有2條；
若直線l過右焦點且垂直于x軸時，直線l的方程為x=$\sqrt{3}$，A（$\sqrt{3}$，-2），B（$\sqrt{3}$，2），則|AB|=4，故與右支有兩個交點時，直線只有一條．
綜上可知，滿足條件的直線共有3條，故④正確
故答案為：①④

點評 本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，考查橢圓和雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及過焦點弦長問題，解題時要準(zhǔn)確理解概念，一些常見的結(jié)論需要牢記，只有這樣解題時才能快速準(zhǔn)確．