Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$+ax²+（a+2）x-3有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，2）
• B． （-∞，-1）∪（2，+∞）
• C． [-1，2]
• D． （-∞，-1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 題目中條件：“在R上有兩個極值點”，利用導(dǎo)數(shù)的意義．即導(dǎo)函數(shù)有兩個零點．從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f′（x）=0的根的問題，利用根的判別式大于零解決即可．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$+ax²+（a+2）x-3，f′（x）=x²+2ax+a+2，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$+ax²+（a+2）x-3有兩個極值點，
∴方程f′（x）=0必有兩個不等根，
∴△＞0，即4a²-4a-8＞0，
∴a＜-1或a＞2
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值等基礎(chǔ)知識，三次函數(shù)的單調(diào)性可借助于導(dǎo)函數(shù)（二次函數(shù)）來分析．