Question

12．函數(shù)y=$\frac{sinx+2}{cosx-2}$的值域?yàn)閇$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．

Answer 1

分析 可以把函數(shù)理解為點(diǎn)（cosx，sinx）到點(diǎn)（2，-2）的直線斜率的范圍，利用數(shù)形結(jié)合的思想，求得過點(diǎn)（2，-2）的直線與單位圓相切時(shí)直線的斜率，進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：可以把函數(shù)理解為點(diǎn)（cosx，sinx）到點(diǎn)（2，-2）的直線斜率的范圍，
而（cosx，sinx）的點(diǎn)的集合為以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，如圖：
當(dāng)過點(diǎn)（2，-2）的直線的斜率不存在時(shí)，不與圓相切，
設(shè)此直線的方程為y+2=k（x-2），整理得y-kx+2k+2=0，①
圓的方程為x²+y²=1，②
圓心到直線的距離為$\frac{|2k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，整理求得k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$，
∴y=$\frac{sinx+2}{cosx-2}$的值域?yàn)閇$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．
故答案為：[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值的問題．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用．