已知A、B為拋物線x2=2py（p＞0）上兩點，直線AB過焦點F，A、B在準線上的射影分別為C、D，則
①
CF
•
DF
=0；
②存在實數(shù)λ使得
AD
=λ
AO
（點O為坐標原點）；
③若線段AB的中點P在準線上的射影為T，有
FT
•
AB
=0；
④拋物線在A點的切線和在B點切線一定相交，并且相互垂直．
其中說法正確的個數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4
考點：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：對四個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．
解答： 解：設(shè)直線AB方程為y=kx+
p
2
，A（x1，y1），B（x2，y2），則C(x1，-
p
2
)，D(x2，-
p
2
)
由
y=kx+
p
2
x2=2py
⇒x2-2pkx-p2=0，
x1+x2=2pk
x1x2=-p2

①由拋物線定義可知：AF=AC，BF=BD，AC∥BD∥y軸，∠AFC=∠CFO，∠BFD=∠DFO，所以∠CFD=90°即
CF
•
DF
=0；①正確
②kOA=
y1
x1
=
x
2
1
2p
x1
=
x1
2p
，kDO=
-
p
2
x2
=
-
p
2
-p2
x1
=
x1
2p
∴AO∥DO即存在實數(shù)λ使得
AD
=λ
AO
；②正確
③因為T(
x1+x2
2
，-
p
2
)，由于
x1+x2
2
=pk，若k≠0則kFT=
p
2
+
p
2
-pk
=-
1
k
kFT•kAB=-1，
FT
•
AB
=0；若k=0顯然
FT
•
AB
=0；③正確
④由于y′=
x
p
，拋物線在A點的切線斜率為k1=
x1
p
，拋物線在B點切線斜率為k2=
x2
p

因為k1k2=
x1x2
p2
=
-p2
p2
-1，故一定相交，并且相互垂直．④正確
故選D．
點評：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，注重平時復習對知識的理解和重要內(nèi)容的記憶，特別是教材中例題研究的方法和結(jié)論，都會是高考命題的主要來源．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應的三邊長分別為a、b、c，且有4bcosAcosB=9asin2B．
（1）求tanA-tanB的值；
（2）求tanC的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足a2≤2，a3≤4，a1+a4≥4，當a4取得最大值時，數(shù)列{an}的公差為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知 a、b為平面向量，若a+b與a的夾角為
π
3
，a+b與b的夾角為
π
4
，則
|a|
|b|
=（　�。�
A、
3
3
B、
5
3
C、
6
3
D、
6
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中為常數(shù)．
（Ⅰ）當a=-1時，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當0＜-
1
a
＜e時，若f（x）在區(qū)間（0，e）上的最大值為-3，求a的值；
（Ⅲ）當a=-1時，試推斷方程|f（x）|=
lnx
x
+
1
2
是否有實數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，直線l過點T（t，0）且與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標原點，若∠AOB為銳角，則t的取值范圍是（　�。�
A、0＜t＜4
B、0＜t＜2
C、t≥2
D、t＞4或t＜0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2，1）和
b
=（x-1，y）垂直，則|
a
+
b
|的最小值為（　�。�
A、
5
B、5
C、2
5
D、
15

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，頂點B，C的坐標分別為B（-3，0），C（3，0），AC，BC邊上的兩條中線BD，CE之和為12，則△ABC的重心G的軌跡方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=0且
1
1-an+1
-
1
1-an
=1．
（1）求{an}的通項公式；
（2）令bn=
1-
an+1
n
（n∈N+），數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，證明：Sn＜1．

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