Question

2．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且2a_n+S_n=An²+Bn+C．
（1）當(dāng)A=B=0，C=1時(shí)，求a_n；
（2）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且A=1，C=-2．
①求a_n；
②設(shè)b_n=2ⁿa_n，設(shè)T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的正整數(shù)n，T_n-（2n+m）•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)A=B=0，C=1時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，求得a₁=$\frac{1}{3}$，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{3}$，數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得a_n；
（2）當(dāng)A=1，C=-2．根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，代入即可求得a₁和d，求得a_n，由①求得b_n=2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ，采用“錯(cuò)位相減法”即可求得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹，由T_n-（2n+m）•2ⁿ⁺¹＞0，即m+3＜（$\frac{3}{{2}^{n}}$）min，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)A=B=0，C=1時(shí)，2a_n+S_n=1，即S_n=1-2a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁+a₁=1，a₁=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列，
a_n=$\frac{1}{3}$×（$\frac{2}{3}$）^n-1，
（2）①數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴設(shè)a_n=a₁+（n-1）d，S_n=$\fracfxbr75v{2}$n²+（a₁-$\fracj9lx9ph{2}$）d，
2a_n+S_n═$\fracbrd5vn7{2}$n²+（a₁-$\fraczbrdrjx{2}$）d+2a₁-2d=n²+Bn-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\fraczr1rdb5{2}=1}\\{{a}_{1}+\frac{3d}{2}=B}\\{2{a}_{1}-2d=-2}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{{a}_{1}=1}\end{array}\right.$，a_n=2n-1，
②b_n=2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ，
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，①
2T_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-1）2ⁿ⁺¹，②
 ①-②得，T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
T_n-（2n+m）•2ⁿ⁺¹＞0
∴（m+3）•2ⁿ⁺¹＜6
∴m+3＜（$\frac{3}{{2}^{n}}$）min，
∴m+3≤0，
∴m≤-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查數(shù)列與不等式恒成立結(jié)合，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．