7.已知$\overrightarrow{m}$=(sinx,$\frac{1}{2}$),$\overrightarrow{n}$=(cosx,cos(2x+$\frac{π}{6}$)),f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{3}{2}$
(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
(2)在銳角△ABC中,△ABC的三角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且f(C)=$\frac{3}{2}$,且c=$\sqrt{3}$,求a-$\frac{1}{2}$b的取值范圍.

分析 (1)進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,并根據(jù)兩角和差的余弦公式進(jìn)行化簡便可得出$f(x)=\frac{1}{2}cos(2x-\frac{π}{6})+\frac{3}{2}$,然后根據(jù)余弦函數(shù)的增區(qū)間即可求出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)根據(jù)f(C)=$\frac{3}{2}$及C為銳角便可求出C=$\frac{π}{3}$,這樣由正弦定理便可得出a=2sinA,b=2sinB,且B=$\frac{2π}{3}-A$,從而得出$a-\frac{1}{2}b=2sinA-sin(\frac{2π}{3}-A)$,根據(jù)兩角和差的正弦公式即可得出$a-\frac{1}{2}b=\sqrt{3}sin(A-\frac{π}{6})$,根據(jù)A,B為銳角便可求出A的范圍,進(jìn)而得出$A-\frac{π}{6}$的范圍,從而得出$a-\frac{1}{2}b$的范圍.

解答 解:(1)$f(x)=sinxcosx+\frac{1}{2}cos(2x+\frac{π}{6})+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos(2x+\frac{π}{6})+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{2}(cos2xcos\frac{π}{6}-sin2xsin\frac{π}{6})$$+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}(cos2xcos\frac{π}{6}+sin2xsin\frac{π}{6})+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}cos(2x-\frac{π}{6})+\frac{3}{2}$;
解$2kπ-π≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ$,k∈Z得,$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$,k∈Z;
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{5π}{12},kπ+\frac{π}{12}$],k∈Z;
(2)$f(C)=\frac{1}{2}cos(2C-\frac{π}{6})+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$;
∴$cos(2C-\frac{π}{6})=0$;
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$,或$\frac{3π}{2}$;
∴$C=\frac{π}{3}$,或$\frac{5π}{6}$(舍去),且$c=\sqrt{3}$;
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$;
∴a=2sinA,b=2sinB;
∴$a-\frac{1}{2}b=2sinA-sinB$
=2sinA-sin($\frac{2π}{3}-A$)
=$2sinA-sin\frac{2π}{3}cosA+cos\frac{2π}{3}sinA$
=$\frac{3}{2}sinA-\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$
=$\sqrt{3}sin(A-\frac{π}{6})$;
$0<\frac{2π}{3}-A<\frac{π}{2}$,且$0<A<\frac{π}{2}$;
∴$\frac{π}{6}<A<\frac{π}{2}$;
∴$0<A-\frac{π}{6}<\frac{π}{3}$;
∴$0<\sqrt{3}sin(A-\frac{π}{6})<\frac{3}{2}$;
∴$a-\frac{1}{2}b$的范圍為$(0,\frac{3}{2})$.

點(diǎn)評 考查二倍角的正弦公式,兩角和差的正弦、余弦公式,以及余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷,已知三角函數(shù)值求角,正弦定理,熟悉正弦函數(shù)圖象.

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