Question

20．已知函數(shù)y=ax-ln（x-1）．
（1）若曲線y在x=2處的切線方程為y=3x+2，求a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)y′=a-$\frac{1}{x-1}$，由題意可知y′丨_x=2=3，代入即可求得a的值；
（2）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，通過對a的分類討論判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系寫出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的極值．

解答 解：（1）由y=ax-ln（x-1），y′=a-$\frac{1}{x-1}$．
由曲線y在x=2處的切線方程為y=3x+2，．
即y′丨_x=2=3，即a-$\frac{1}{2-1}$=3，
∴a=4，
（2）函數(shù)y=ax-ln（x-1）的定義域?yàn)椋?，+∞），
y′=a-$\frac{1}{x-1}$．
①當(dāng)a=0時(shí)，y′=-$\frac{1}{x-1}$．
∴y=-ln（x-1）．在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a≠0時(shí)，y′=a-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{a（x-\frac{a+1}{a}）}{x-1}$．
當(dāng)a＞0時(shí)，令y′=0，解得x=$\frac{a+1}{a}$，
∴函數(shù)y=ax-ln（x-1），在x∈（1，$\frac{a+1}{a}$）時(shí)，y′＜0，
函數(shù)y=ax-ln（x-1），在x∈（$\frac{a+1}{a}$，+∞）時(shí)，y′＞0，
∴函數(shù)y=ax-ln（x-1）的單調(diào)減區(qū)間為（1，$\frac{a+1}{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{a+1}{a}$，+∞）；
∴當(dāng)x=$\frac{a+1}{a}$時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值為a+1，
當(dāng)a＜0時(shí)，y′=a-$\frac{1}{x-1}$＜0，在（1，+∞）上恒成立，
所以函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)無極值，
綜上可知：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，$\frac{a+1}{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{a+1}{a}$，+∞），
函數(shù)有極小值，極小值為a+1；
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減（1，+∞），函數(shù)無極值，

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)與切線方程斜率的關(guān)系，考查利用分類討論求含參數(shù)的函數(shù)解決單調(diào)性問題，屬于中檔題．