Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+|x-a|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0），f′（0）的值，求出切線方程即可；
（2）求出f（x）的分段函數(shù)的形式，根據(jù)a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）a=1，x＜1時(shí)，f（x）=x³+1-x，
f′（x）=3x²-1，
故f（0）=1，f′（0）=-1，
故切線方程是y=-x+1；
（2）a∈（0，1）時(shí)，由已知得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+x-a，a≤x≤1}\\{{x}^{3}-x+a，-1≤x＜a}\end{array}\right.$，
a＜x＜1時(shí)，由f′（x）＞0，得f（x）在（a，1）遞增，
-1＜x＜a時(shí)，由f′（x）=3x²-1，
①a∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）時(shí)，f（x）在（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）遞增，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）遞增，
∴f（x）_min=min{f（-1），f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）}=min{a，a-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$}=a-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
②a∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]時(shí)，f（x）在（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）遞增，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a）遞減，在（a，1）遞增，
∴f（x）_min=min{f（-1），f（a）}=min{a，a³}=a³；
綜上，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{2\sqrt{3}}{9}，a∈（\frac{\sqrt{3}}{3}，1）}\\{{a}^{3}，a∈（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、考查切線方程問題，是一道中檔題．