Question

11．已知關于x的一元二次函數f（x）=ax²-bx+1
（1）若f（x）＜0的解集為{x|x＜-$\frac{1}{2}$或x＞1}，求實數a、b的值．
（2）若實數a、b滿足b=a+1，求關于x的不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＜0的解集為{x|x＜-$\frac{1}{2}$或x＞1}，可得a＜0，$-\frac{1}{2}$與1是一元二次方程ax²-bx+1=0的兩個實數根，利用一元二次方程的根與系數的關系即可得出．
（2）由b=a+1，關于x的不等式f（x）＜0化為：ax²-（a+1）x+1＜0，因式分解為：（ax-1）（x-1）＜0，對a分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）＜0的解集為{x|x＜-$\frac{1}{2}$或x＞1}，
∴a＜0，$-\frac{1}{2}$與1是一元二次方程ax²-bx+1=0的兩個實數根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}+1=\frac{a}}\\{-\frac{1}{2}×1=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得a=-2，b=-1．
（2）∵b=a+1，關于x的不等式f（x）＜0化為：ax²-（a+1）x+1＜0，
因式分解為：（ax-1）（x-1）＜0，
當a=1時，化為（x-1）²＜0，則x∈∅；
當a＞1時，$\frac{1}{a}$＜1，解得$\frac{1}{a}＜x＜1$，不等式的解集為{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}；
0＜a＜1時，$\frac{1}{a}$＞1，解得$\frac{1}{a}$＞x＞1，∴不等式的解集為{x|$\frac{1}{a}$＞x＞1}；
a＜0時，$\frac{1}{a}$＜1，不等式（ax-1）（x-1）＜0化為：（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＞0，解得x＞1或x$＜\frac{1}{a}$，
不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{a}$，或x＞1}．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數的關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．