Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+alnx-1，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的x＞0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）若a=1，定義函數(shù)g（x）=[f（x）-$\frac{1}{x}$]•e^x+x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），問曲線y=g（x）上是否在不同的兩點(diǎn)M，N，使得直線MN的斜率等于1？若存在，求出符合條件的一條直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=a-alna-1，問題轉(zhuǎn)化為a-alna-1≥0恒成立即可，令g（a）=a-alna-1，（a＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（3）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g′（x）≥1，從而判斷結(jié)論即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{x}$+alnx-1的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增；
（2）由（1）得，a≤0時(shí)，f（x）遞減，不合題意，
a＞0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=a-alna-1，
若對(duì)任意的x＞0，f（x）≥0恒成立
只需a-alna-1≥0恒成立即可，
令g（a）=a-alna-1，（a＞0），
g′（a）=-lna，
令g′（a）＞0，解得：0＜a＜1，
令g′（a）＜0，解得：a＞1，
∴g（a）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（a）_max=g（1）=0，
故a=1時(shí)，f（x）≥0恒成立，
故a∈{1}；
（3）∵a=1時(shí)，g（x）=[f（x）-$\frac{1}{x}$]•e^x+x，
∴g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），
∴g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1=（$\frac{1}{x}$+lnx-1）e^x+1，
由（2）易知，f（x）_min=f（1）=0，
∴g′（x）≥1，
故曲線y=g（x）上不存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得直線MN的斜率等于1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．