Question

16．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2bcosC=2a-c．
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）2bcosC=2a-c，由正弦定理可得：2sinBcosC=2sinA-sinC，又sinA=sin（B+C），化為：2cosBsinC=sinC，可得cosB=$\frac{1}{2}$，即可得出B．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，再利用基本不等式的性質(zhì)、三角形三邊大小關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）∵2bcosC=2a-c，由正弦定理可得：2sinBcosC=2sinA-sinC，又sinA=sin（B+C），
∴2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，
化為：2cosBsinC=sinC，
∵C∈（0，π），∴2cosB=1，即cosB=$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3×$（\frac{a+c}{2}）^{2}$，
化為：（a+c）²≤4，解得a+c≤2，當且僅當a=c=1時取等號．
又a+c＞b=1．
∴1＜a+c≤2．
∴a+c的最大值是2．

點評 本題考查了正弦定理的應(yīng)用、解三角形、和差公式、三角形內(nèi)角和定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．