Question

1．四面體的一條棱長(zhǎng)為x，其它各棱長(zhǎng)均為1，若把四面體的體積V表示成關(guān)于x的函數(shù)V（x），則函數(shù)V（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由題意畫出三棱錐的圖形，取BC，AD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求出AED的面積，然后求出棱錐的體積，再由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：如圖，四面體ABCD中，AD=x，其余各棱為1．取AD中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)E
在三角形ABC中，∵三角形ABC為正三角形，E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，同理ED⊥BC，
∵AE∩ED=E，∴BC⊥面AED．
S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EF，
EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{3-{x}^{2}}$，
∴V（x）=$\frac{1}{3}$•S_△AED•BC=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}x•\frac{1}{2}\sqrt{3-{x}^{2}}=\frac{1}{12}x\sqrt{3-{x}^{2}}$，
由3-x²＞0，得0$＜x＜\sqrt{3}$，
∴函數(shù)V（x）的定義域?yàn)椋?，$\sqrt{3}$），
V′（x）=$\frac{1}{12}\sqrt{3-{x}^{2}}+\frac{1}{12}x•\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{3-{x}^{2}}}（-2x）$
=$\frac{1}{12}\sqrt{3-{x}^{2}}-\frac{1}{12}\frac{{x}^{2}}{\sqrt{3-{x}^{2}}}$=$\frac{1}{12}•\frac{3-2{x}^{2}}{\sqrt{3-{x}^{2}}}$，
由3-2x²＜0，得x$＜-\frac{\sqrt{6}}{2}$（舍），或x$＞\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴函數(shù)V（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{3}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的體積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，關(guān)鍵是把棱錐轉(zhuǎn)化為兩個(gè)棱錐，考查利用導(dǎo)數(shù)一句話是的單調(diào)性，是中檔題．