Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{lnx}-ax$．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=e²處的切線與y軸垂直，求實數(shù)a的值；
（2）a=1，x＞1時，求證：$f（x）•\frac{x-1}{x}＜\frac{3-x}{2}$；
（3）若$?{x_1}，{x_2}∈[{e，{e^2}}]$，使f（x₁）-f′（x₂）≤a成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線垂直的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-2+$\frac{4}{x+1}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式即可．
（3）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”，等價于“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合分類討論思想，能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由已知得f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），
f′（x）=-a+$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
則在x=e²處的切線斜率k=f（e²）=-a+$\frac{ln{e}^{2}-1}{（ln{e}^{2}）^{2}}$=-a+$\frac{2-1}{4}$=-a+$\frac{1}{4}$，
若函數(shù)f（x）的圖象在x=e²處的切線與y軸垂直，則-a+$\frac{1}{4}$=0，即a=$\frac{1}{4}$．
（2）當(dāng)a=1，x＞1時，不等式$f（x）•\frac{x-1}{x}＜\frac{3-x}{2}$等價為（$\frac{x}{lnx}$-x）$\frac{x-1}{x}$＜$\frac{3-x}{2}$；
即（$\frac{1}{lnx}$-1）（x-1）＜$\frac{3-x}{2}$；
即$\frac{1}{lnx}$-1＜$\frac{3-x}{2}$×$\frac{1}{x-1}$；
整理得lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-4}{x+1}$=2-$\frac{4}{x+1}$，
設(shè)h（x）=lnx-2+$\frac{4}{x+1}$，
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-4x}{x（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$，
∵x＞1，
∴h′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
∴h（x）＞h（1）=ln1-2+$\frac{4}{1+1}$=-2+2=0，
則h（x）＞0，即不等式lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$成立，
則$f（x）•\frac{x-1}{x}＜\frac{3-x}{2}$成立．
（3）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）-f′（x₂）≤a
即f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”，
等價于“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，
由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈[e，e²]時，lnx∈[1，2]，$\frac{1}{lnx}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
f′（x）=-a+$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$=-（$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$-a，
f′（x）_max+a=$\frac{1}{4}$，
問題等價于：“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤$\frac{1}{4}$”，
①當(dāng)-a≤-$\frac{1}{4}$，即a$≥\frac{1}{4}$時，由（Ⅰ），f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，
則f（x）_min=f（e²）=-ae²+$\frac{{e}^{2}}{2}$≤$\frac{1}{4}$，
∴-a≤$\frac{1}{4{e}^{2}}$-$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$．
②當(dāng)-$\frac{1}{4}$＜-a＜0，即0＜a＜$\frac{1}{4}$時，∵x∈[e，e²]，∴l(xiāng)nx∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∵f′（x）=-a+$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f′（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
∴存在唯一x₀∈（e，e²），使f′（x₀）=0且滿足：
f（x）_min=f（x₀）=-ax₀+$\frac{{x}_{0}}{ln{x}_{0}}$，
要使f（x）_min≤$\frac{1}{4}$，∴-a≤$\frac{1}{4{x}_{0}}$-$\frac{1}{ln{x}_{0}}$＜$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，
與-$\frac{1}{4}$＜-a＜0矛盾，
∴-$\frac{1}{4}$＜-a＜0不合題意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．